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你準備買房子嗎？如果是的話，你不會對“按揭”感到陌生的。今天，我們就來做點數學練習，從頭推導一下按揭的計算公式。
到Google上輸入“按揭公式”，你一定能搜到成千上萬個結果，甚至還有許多製作精美、功能完善的按揭計算器。為甚麼還要自己推導呢？<悄悄話>很簡單，就是上班太無聊了，又上不鳥網，只能沒事找事幹。</悄悄話>
註：這裡寫的與上班時推導的稍有不同，主要是我一開始的計算方法有點不一樣，後來查了資料，簡單修正了一下。
好！做按揭首先有三個參數：
1. 貸款額：就是借錢的總額，單位為元（$），記為 t 。
2. 還款期數：銀行一般會說按揭年期 y，但我們實際上是每月還款的。為方便討論，以下用“月期”代替“年期”，記為 m 。因為一年有12個月，所以 m = y × 12。
3. 利率：同樣，銀行喜歡說年利率 Py（%），我們要把它換成每期的利率 Pm（以下簡記為 p），即 Pm = Py / 12。這裡就假設供款過程中利率都不變好了，太複雜不好的！
而作為借錢方，我們還關心一個數：月供。月供即每月（每期）還款額，記為 x。下面，我們就用貸款額 t、還款期數 m、利率 p 三個參數來計算月供 x。
對了，還有一組數：每期應付的利息。之所以是“一組數”，而不是“一個數”，是因為你不斷還錢，本金就一直減少，應付利息自然逐漸減少。這組數很神秘，銀行不會告訴我們，我們一般也沒必要知道。可是，在推導公式的時候，最棘手的就是這組數。我們把它記為 Ij，表示第 j 期應還的利息。
參數定義完，進入正題。我們的還款總額，首先就等於每期還的錢 x，乘以還款總期數 m，即x × m。另一方面，它又等於貸款額 t 加上總利息(I1 + I2 + ... + Im)。即：
讓人頭疼的是Σ裡面的東西，因為一來，銀行不會將“那組數”告訴我們；二來，沒有方便的公式計算每個 Ij；三來......這個符號看着就讓人頭疼。
不用緊，我們一步一步來。首先，對於第一期，情況很簡單，應還的利息就是貸款額 t 乘以利率 P。即：
第二期的情況複雜一點點，它的“本金”減少了，不再是總貸款額 t，而是要減去上期已經還掉的那部份“本金”：上一期還了 x 元，其中利息佔去 I1，剩下的 (x - I1) 則是償還了的“本金”。所以，第二期的“本金”應為 t - (x - I1)。因此本期利息 I2 是：
第三期同理，這次的“本金”則要扣去上兩期還掉的部份，即 t - (x - I1) - (x - I2)。因此利息 I3 是：
OK，現在把 I1 、 I2 、 ... 、 Im 統統加起來，看看會發生甚麼事。
懶得寫過程了，反正結果就是悲劇：Σ就像一個洋蔥，剝了一層，還有一層......總之此路不通，從頭再來！
總結一下前面失敗的經驗，是因為我太懶，沒有把 I1 、 I2 、 ... 、 In 代進 In+1 的表達式中，導致最後加總時，“這組數”仍揮之不去。這次就勤勞一點，把式子都寫清楚！
首先第一期的利息 I1 還是這樣：
接着是 I2 ，寫詳細點：
然後是 I3 ：
然後是 I4 ：
第一部份可以抽出一個 t．p，變成 t．p．(1 + 3p + 3p2 + p3)。熟悉數學的人一眼就能看出來，那是 t．p．(1 + p)3 的展開式；第二部份長得也很像，不過缺了一項，我們給它補回來：
參數定義完，進入正題。我們的還款總額，首先就等於每期還的錢 x，乘以還款總期數 m，即x × m。另一方面，它又等於貸款額 t 加上總利息(I1 + I2 + ... + Im)。即：
不用緊，我們一步一步來。首先，對於第一期，情況很簡單，應還的利息就是貸款額 t 乘以利率 P。即：
第二期的情況複雜一點點，它的“本金”減少了，不再是總貸款額 t，而是要減去上期已經還掉的那部份“本金”：上一期還了 x 元，其中利息佔去 I1，剩下的 (x - I1) 則是償還了的“本金”。所以，第二期的“本金”應為 t - (x - I1)。因此本期利息 I2 是：
第三期同理，這次的“本金”則要扣去上兩期還掉的部份，即 t - (x - I1) - (x - I2)。因此利息 I3 是：
規律開始出來了，對於第 n 期，其“本金”就是 t - (x - I1) - (x - I2) - ... - (x - In-1)，對應的利息 In 則為：
OK，現在把 I1 、 I2 、 ... 、 Im 統統加起來，看看會發生甚麼事。
～～～～～～～～～～～～～～第一節完～～～～～～～～～～～～～～
總結一下前面失敗的經驗，是因為我太懶，沒有把 I1 、 I2 、 ... 、 In 代進 In+1 的表達式中，導致最後加總時，“這組數”仍揮之不去。這次就勤勞一點，把式子都寫清楚！
首先第一期的利息 I1 還是這樣：
接着是 I2 ，寫詳細點：
然後是 I3 ：
然後是 I4 ：
至此都只是一些合併同類項，沒有技巧可言。接下來該整理整理了。I4 可分為兩部份：
第一部份可以抽出一個 t．p，變成 t．p．(1 + 3p + 3p2 + p3)。熟悉數學的人一眼就能看出來，那是 t．p．(1 + p)3 的展開式；第二部份長得也很像，不過缺了一項，我們給它補回來：
於是 I4 就變成：
現在回頭看I3 、 I2 、 I1，我們驚訝地發現：
悲劇呀！看來還是逃脫不了Σ迷宮。不過請仔細看，Σ裡面的是甚麼東西：(1 + p) 的 (j-1) 次方，換言之，這個Σ就是：
p 是甚麼？就是每期的利率，年利率的1/12。比如年息是2.5厘嘛，p 就等於2.5%再除以12，即0.20833333%，這個值銀行是告訴我們的。
m 是甚麼？就是還款期數，年期的12倍。譬如年期為20年，那麼 m 就等於240個月。同上，這個值銀行也是告訴我們的。
可見，Σ裡頭的每一項，我們都是知道的。只要有耐心，把那240項（甚至更多）一項一項加起來，我們就能離開Σ迷宮了！神秘的總利息就知道了！讓人討厭的“那組數”呢？消失了！
當然，要將240個數加起來，對人類來說仍是相當艱巨的工程。可是，對於電腦就不一樣了，簡直是不費吹灰之力。在第四節，我們會寫個簡單的程序，讓它自動加起來！
那麼，是不是有以下的規律呢？
先不管對錯，假設上述等式是成立的，現在再把 I1 、 I2 、 ... 、 Im 統統加起來，看看這次會悲劇嗎：
m 是甚麼？就是還款期數，年期的12倍。譬如年期為20年，那麼 m 就等於240個月。同上，這個值銀行也是告訴我們的。
可見，Σ裡頭的每一項，我們都是知道的。只要有耐心，把那240項（甚至更多）一項一項加起來，我們就能離開Σ迷宮了！神秘的總利息就知道了！讓人討厭的“那組數”呢？消失了！
當然，要將240個數加起來，對人類來說仍是相當艱巨的工程。可是，對於電腦就不一樣了，簡直是不費吹灰之力。在第四節，我們會寫個簡單的程序，讓它自動加起來！
～～～～～～～～～～～～～～第二節完～～～～～～～～～～～～～～
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