求陰影面積

網上看到一道幾何題，號稱是小學題目，據說在微博上一度“很火”－－其實筆者沒看到有多“火”，用“透過Google搜尋這張圖片”功能一搜，來來去去只在果殼網上有人討論。

題目是這樣的：正方形邊長為a，曲線為1/4圓弧，求陰影面積。題主還附帶了一個條件：最好用小學方法，别用積分之類的。

好吧，既然題主不讓積分，那就先積個分試試吧！

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【大學生解法】

如上圖，記O為原點，四段弧分別記為曲線A、曲線B、曲線C、曲線D，則四段弧的方程分別為：

聯立曲線A、曲線C之方程，求得兩條曲線的交點為：

同理可求得其他曲線的交點：

故陰影部分的面積可通過以下定積分求得：

注意到該形狀的對稱性，因此只需求右上角部分的面積即可（也可以是右下、左上、左下等，但右上角部分的曲線方程最簡單）。即圖中紅色陰影部分：

因此總陰影面積為：

至此陰影面積已求得－－從所得答案，一看就知道不是小學題目。小學生知道根號為何物？關於積分的過程，下面多寫幾句（以下這些當然都不是筆者記得的，全都是“紙上得來”的）。

其中用到的一個積分公式為：

大部分手冊、微積分教材都會列出此公式，如果您的沒有，可以 把它扔掉了 按以下方法推導：

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【高中生解法】

積分可謂是求面積的“神器”，只要能夠寫出方程（函數），而且函數可積，理論上就能夠用積分求出面積。

然而這畢竟只是“小學”題目，陰影形狀也十分工整對稱，這都要積分未免有點“殺雞用牛刀”。以下嘗試其他程度低一點的方法吧！先從高中解析幾何着手：

如上圖，正方形四個端點分別記為M、N、O、P，四個圓弧的交點分別記為A、B、C、D。

如解（一）灰色部分，分別求得點A、B、C、D的座標為：

依次連結點A、B、C、D，得正方形ABCD。因此陰影面積為：

其中線段AB長為：

故正方形ABCD的面積為：

而弓形AB的面積則為：

因P、A、B、N在同一圓弧上，故|OA| = |OB| = |OP| = |ON| = a，即三角形AOB為等腰三角形。作OE垂直於AB於E，由等腰三角形的性質，知 |AE| = |BE| = 1/2|AB|；角AOE = 角BOE = 1/2角AOB。

而sinθ、cosθ的值分別為：

根據二倍角公式與反三角函數，求得角AOB的角度為：

故扇形AOB及三角形AOB的面積分別為：

即陰影面積為：

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【初中生解法】

以上解法多次使用了三角函數，包括了陌生的arcsin函數（sin-1函數）。其實不用三角函數，僅通過初中平面幾何的知識也可以求出來。

如【高中生解法】紫色部分，先將圖形標示及分解如下：

如下圖，連結OA、AN，因點N、點A均在圓弧NP上，所以 |ON| = |OA| = a；又因點O、點A均在圓弧OM上，故 |NO| = |NA| = a，即三角形OAN是等邊三角形。

連結並延長AC，使其交ON於Q，根據圖形的對稱性，知線段AC平行於PO；又在正方形MNOP中，PO垂直於ON，所以QA垂直於ON。

根據等邊三角形的性質，角NAQ = 角OAQ = 1/2角OAN = 30度。

所以內錯角OAQ = 角POA = 30度。同理得角NOB = 30度。

所以角AOB = 角PON - 角POA - 角NOB = 90度 - 30度 - 30度 = 30度。

又根據等邊三角形性質，|NQ| = |QO| = |NO|/2 = a/2。所以在直角三角形NAQ中：

連結BD並使其交AQ於點F。又根據圖形對稱性，|QF| = a/2 = |NQ|，|BF| = |FA| = |QA| - |QF|：

則根據勾股定理：

連結OB，得|OB| = |OA| = a，即三角形AOB為等腰三角形；作OE垂直於AB於E，根據等腰三角形性質，|AE| = |BE| = |AB|/2：

又根據勾股定理：

至此已有足夠條件分別計算正方形ABCD、扇形AOB與三角形AOB的面積：

接【高中生解法】橙色部分，陰影面積為：