圓周率

不時聽到一些世界奇聞，說某某天才神童（多是自閉症患者），能夠背誦圓周率的小數點後幾萬位。其實從小學剛認識圓周率開始，筆者便一直在思考這個問題：人們是通過怎樣的算法，來精確計算圓周率的小數點後那些位數的呢？當時，筆者曾在草稿紙上用直式除法計算22/7，結果當然貽笑大方。

儘管隨後的數學技巧長進了不少，這個問題對筆者而言始終懸而未決。這篇博文，算得上是另一次嘗試。儘管結果依舊無功而還，過程卻不是毫無意義。

策略是這樣的：首先，圓周率的定義是甚麼？顧名思義，當然跟圓形有關。開地見山地說吧，那是圓形周長與直徑之比，即：

圓周率  =  周長 /  直徑

（換個寫法應該眼熟一點，即：周長 = 直徑 x 圓周率，或 C = 2πR）

圓的周長是比較難量度的，但可以用正n邊形來近似。大家知道，任何正n邊形（n>3）都可以畫出外接圓（以及內切圓，*下同），而且隨着邊數n越多，正n邊形的周長越近似其*外接圓的周長；當n趨向正無窮時，該正n邊形將與其*外接圓重合。以下是正十六邊形及其外接圓，諸位感受一下：

正十六邊形及其外接圓

另一方面，正n邊形的邊長是可以通過平面幾何的方法求得的。因此，以下嘗試結合平面幾何與極限的手段，試圖推算出圓周率。

如上圖，對於一個外接圓半徑為R的正n邊形，其邊長為：

a = 2x = 2R‧sin(π/n)

故該正n邊形的周長為：

C(正n邊形) = n‧a = n‧[2R‧sin(π/n)]

當n趨近正無窮時，該正n邊形的周長即為外接圓的周長，故該正n邊形的外接圓周長為：

根據定義，圓周率 = 圓周長 / 直徑。即：

至此筆者就解不下去了。懷着謙卑之心向數學高手請教，結果對方只給了個沒有過程的解答。沒辦法，只好自己動手翻書，權當溫習微積分吧！

後來筆者翻到了洛必達法則（見此資料第7頁），覺得跟這個情況有點類似，不妨一試。對於洛必達法則，除了還記得它的名稱、以及它在高數版《說好的幸福呢》歌詞中出現過以外，它的內容筆者已經毫無印象了。溫習一下洛必達法則：

【第一步】將上述極限改寫如下：

並分別將分子、分母記為f(n)、g(n)：

分別求極限，得：

故lim[f(n)/g(n)]為0/0型，即該極限滿足洛必達法則的條件(a)。

【第二步】f(n)、g(n)分別求導數（求f'(n)時注意導數的連鎖率。公式都是“紙上得來”的，嘖嘖）：

f'(n)、g'(n)分別求極限，得：

故此lim[f'(n)/g'(n)]也是0/0型，即該極限滿足洛必達法則的條件(b)。

【第三步】根據洛必達法則，有：

即圓周率 = π。

【解畢】

至此我們得到了“圓周率等於π”的結論。遺憾的是，要想求π的近似值，以上方法是行不通的：我們不能用一個很大的正整數n代入到“n‧sin(π/n)”，並以此求得π的近似值，因為這個算式裡面就包含了未知數π。

如果真要給以上的題解起個題目，大概可以叫做“根據圓周率的的定義，證明它的值等於π”吧？

以上當是做些微積分方面的熱身吧，下回準備做以下這個，據說是微博上很火的小學題目，然而用積分法求解簡直是“屈機”：

求陰影面積