關於有效數字

前一篇關於蝦和維他命C的文章裡，筆者說其中一篇參考文獻的結果不規範，有效數字的取捨有問題。不明真相的讀者，一定認為筆者裝B、死板、故弄玄虛、吹毛求疵、拘泥於無關痛癢的細枝末節、或者是雞蛋裡面挑骨頭。

真的是無關緊要的細節嗎？我聽過一則笑話（不是學習分析化學時聽的），它充分說明了有效數字的意義：

某博物館導遊帶着一批遊客參觀，他說：“這是一副距今一億六千五百萬零十七年的恐龍化石。”遊客們對這串數字不已為然，只有某路人甲例外。他問導遊：“你是如何知道得這麼精確的呢？”導遊回答：“我剛來的時候，資料寫它的歷史是一億六千五百萬年；現在我在此工作十七年了，所以就是一億六千五百萬零十七年。”

最後，附一些有效數字的說明及其運算規則，供各位參考，沒有興趣的可直接關掉。內容大部分從網上摘抄，也加入一些說明。（還是自己寫吧......）

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一、有效數字的判斷：

【原則】從左邊第一個非零數字開始，到最右邊都是有效數字。
【例】123.45 （五位有效數字）
　　　10.00 （四位有效數字）
　　　0.0011 （兩位有效數字）


二、修約規則：

【原則一】 “四捨六入五成雙”：先談“五成雙”吧，當被修約的數字剛好等於5時，要看它前面的數字決定“捨”還是“入”，若是奇數則進位，若是偶數則捨棄，這樣修約後的末位數字始終是偶數，故曰“五成雙”。“四捨六入”，實際意思是被修約數小於5時都捨棄，大於5時都進位。 
【例】將以下數字修約成四位有效數字：
　　　 0.24575 --> 0.2458 （剛好等於5，五成雙）
　　　 0.24585 --> 0.2458 （剛好等於5，五成雙）
　　　 0.245851 --> 0.2459 （大於5，六入）

【原則二】 一次修約到所要求的位數，不能分幾次修約。
【正例】 0.5749 --> 0.57
【反例】 0.5749 --> 0.575 --> 0.58


三、運算規則：

◎ 加減法
【原則】 以小數點後位數最少的數據為準。
【例】 0.0121 + 25.64 + 1.05782 = 0.01 + 25.64 + 1.06 = 26.71
【說明】 0.0121、25.64、1.05782，小數點後位數分別有4位、2位、5位，中者的小數點後位數最少，故其他數據修約至小數點後2位，答案保留小數點後2位。
【原理】 三個數的絕對誤差分別是正負0.0001、0.01、0.00001，加和值的絕對誤差取決於最大者，即0.01。
（註：回到上面恐龍化石的例子，大家現在知道問題所在了）

◎ 乘除法
【原則】 有效數字的位數應以幾個數中有效數字位數最少的那個數據為準。
【例】  0.0121 x 25.64 x 1.05782 = 0.0121 x 25.6 x 1.06 = 0.328
【說明】 0.0121、25.64、1.05782，有效數字位數分別有3位、4位、6位，前者的有效數字最少，故其他數據修約至3位有效數字，答案保留3位有效數字。實際運算時可以先計算後修約。
【原理】 乘除法的結果取決於相對誤差最大者。

◎ 對數
【原則】 有效數字位數取決於小數部分（尾數）數字的位數，因整數部分（首數）只代表該數的方次。
【例】 pH=10.28，即氫離子濃度 [H+] = 5.2 x 10^(-11)
【說明】 pH=10.28，小數部分有2位，故只有2位有效數字，而非4位，換算成 [H+] 只保留兩位有效數字；小數點前的數字10反映在 x 10^(-11)這部分，不算有效數字。