如何把信紙摺三折【四】

＜本集內容：介紹把信紙摺三折的方法＞

＜另請見新方法＞

上集已經證明了，如下圖所示，線段CQ和DO的交點M在線段AB上的投映即為線段AB的三等分點。

 

接下來開門見山，圖文並茂地介紹如何把信紙摺三折。

＜一＞　先準備一張尺寸不詳的矩形信紙。要求：信紙長度不大於寬度的兩倍（各種常見的紙張系列均滿足此要求，見下表）。

紙張尺寸列表

＜二＞　將紙張沿着長邊（線段AB）對摺。

綠色蜂巢紋代表紙背，紫色代表新增的摺痕及標記，下同

綠色代表紙背，下同

＜三＞　攤開紙張，將AO對齊剛剛的摺痕摺下，將A點重合的位置用鉛筆記下（即C點）。

紅線表示之前已有的摺痕，下同

＜四＞　攤開紙張，將短邊AD對齊摺痕CO對摺，找到Q點（註：此步驟可與上一步對調次序）。

＜五＞　攤開紙張，對準C點、Q點，反轉摺下（註：反轉是為了看清C、Q點位置）

虛線表示被遮住了，肉眼看不到

再次攤開紙張，CQ、DO兩條摺痕的交點（即M點）用鉛筆記下。

M點位置用鉛筆記下

＜六＞　對齊長邊，反轉摺一條過M點且垂直於長邊的摺痕（註：同上，反轉是為了看清M點位置）

＜結果＞　摺痕MN即為長邊AB的三等分線（如下圖）。最後把B點所在的短邊對齊摺痕MN對痕，便順利把信紙摺三折了。大功告成。

＜後記＞ 

寫這篇專題花了不少精力，讓筆者好幾個晚上都輾轉反側地思考幾何問題。當然收穫也是有的，首先它讓筆者掌握了徒手將信紙摺成三折的方法，以後筆者就可以吹牛逼了；其次也幫助筆者複習了尺規作圖、三角函數、相似三角形等幾何知識，聽說了所謂的“摺紙數學”（不明覺厲）；可是，最有實用性的還是Auto CAD。

筆者讀書時期僅接觸過一次Auto CAD，是在“工程圖學”的上機課上。當時由於不是考試內容，老師也沒有要求，所以糊裡糊塗就過去了。後來筆者誤打誤撞，進了一家工程公司當打雜員，總算感受到Auto CAD的強大，於是趁着離職當日，便把破解版的Auto CAD拷了回到，省得日後四處求種求序列號。

話雖如此，在撰寫這篇專題以前，該軟件也基本只是擺設。

現在，筆者的Auto CAD技術還算不上純熟，圖畫得還比較粗糙，可是已經掌握到一些作圖技巧了。

希望日後有更多練習機會。畢竟掌握Auto CAD，也算是一技之長，也是可以寫進履歷表的。


 ＜全文完＞

如何把信紙摺三折【三】

＜本集內容：分析三等分點的幾何性質＞

＜需要答案的讀者可直接跳到第四集＞

＜另請見新方法＞

在網上查資料時，偶然發現了"摺紙數學"一詞，筆者還是第一次聽說。這個摺紙數學嘛，據說可以做到一些連尺規作圖都做不到的事（如角的三平分問題）。而筆者居然無師自通地研究起摺紙數學問題，一股牛逼感油然而生。咳咳，該吃藥了......

既然摺紙法能做到尺規作圖做不到的事，說明摺紙與尺規作圖是兩個不同的體系。因此，第一集的尺規作圖，只需知道結果即可，步驟可以完全忘掉......

現在先做一道證明題，複習一下初中幾何！

如圖，線段AB的長度 |AB| = 2a；O為線段AB的中點，即 |AO| = |BO| = a；Q為線段AO的中點，即 |AQ| = |OQ| = a/2；N為線段AB的三等分點，即 |AN| = 2a/3；圖形AOCD為正方形；連結CQ、DO，使之交於M點；連結MN；求證MN┴AO。

 

證明：

以上證明僅為滿足筆者裝逼的欲望罷了。要是反過來，先過M點作MN┴AO於N，再求證N是AB的三等分點，那麼證明過程便會簡單得多（亦更有指導意義，日後再說）。具體過程如下：

1) 設|MN|=y、|NO|=x，即|QN|=|QO|-|NO|= a/2 - x;
2) tan(MON)=|MN|/|NO|=|DA|/|AO|=a/a=1;
　　故|MN|=|NO|，即y=x
3) tan(MQN)=|MN|/|QN|=|CO|/|QO|=a/(a/2)=2;
　　故x/(a/2-x)=2，即x=a-2x，即x=2a/3，得證。

出以上的證明題，並非像數學老師那樣存心要刁難讀者。細心的讀者朋友已經注意到，上述證明題的題設中僅包含正方形、垂直平分線、二等分點、垂直線、兩個已知點的連線等元素。根據上集的分析可知，這些元素都可直接摺出。換言之，圖上的一根根線段，實質就是我們在尋找的“摺痕”。答案已經呼之欲出了。

好吧，我承證答案也是偶然發現的......

＜第三集完，轉下集＞

世界盃電影帖：City of God

學習累了，先看部電影放鬆一下......

世界盃氣氛漸濃，關於本屆世界盃主辦國巴西的報導及節目亦越來越多。提起巴西，人們的印象無非是足球、森巴舞、嘉年華或者亞馬遜叢林。

可是，另一方面，貧民窟、街頭暴力、毒梟、搶劫等也是巴西不可忽視的元素。筆者最近就看到一則“奇葩”新聞：巴西警方警告遠道而來觀看世界盃的遊客，萬一遇到打劫“別反抗、別尖叫、別理論”，避免將“搶劫案”變成“謀殺案”。

各位如果想感受巴西“獨特”的街頭氣息，又不想千里迢迢去冒生命危險，就一定要看“上帝之城”這部電影。這部杰作堪稱是巴西黑幫文化的記錄片，不少內容據稱還是取材自真人真事。

故事發生在里約熱內盧的貧民區，一處名為“上帝之城”的地方。名字聽上去響亮光明，實際上卻是上帝都不敢逗留片刻、警察都不敢過問半句的罪惡之城。

阿炮正是在“上帝之城”土生土長的青年，然而在暴力和毒品的包圍下，生性懦弱的阿炮卻一心只想成為一名攝影師。《上帝之城》這部電影，正是透過阿炮的耳聞目睹、以及他的鏡頭，將這座人間地獄呈現給觀眾。

全片不僅劇情緊湊吸引、節奏明快，而且採用了類似《低俗小說》那樣的環狀敍事結構，即將影片拆分成幾個互相獨立卻又環環相扣的故事，最後首尾呼應形成完整、閉合、戲劇性的“環”。這樣的結構，讓情節更加出人意表。

“長江後浪推前浪”，一代過去，一代又來，罪惡卻永遠存在。這或許就是上帝之城的真實寫照。 

多說無謂，直接上片。不用謝，我叫雷鋒。

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附－電影簡介：

片名：Cidade de Deus／City of God

中文譯名：上帝之城／無主之城／無法無天

年份：2002

導演：Fernando Meirelles／Kátia Lund

主演：Alexandre Rodrigues／Matheus Nachtergaele／Leandro Firmino

發行商： Miramax／Buena Vissta International

片長：130min

獲獎情況：獲奧斯卡4項提名，沒有獲獎

IMDB連結：http://www.imdb.com/title/tt0317248/

IMDB評分：8.7/10 from 394,670 users

IMDB排名：Top 250 #21

如何把信紙摺三折【二】

聲明：本集內容比較乏味、亦不夠嚴謹科學、文字亦不夠精煉規範，讀者可直接跳過，或快速瀏覽即可。

＜本集內容：對摺紙法進行簡單分析歸納＞

＜需要答案的讀者可直接跳到第四集＞

＜另請見新方法＞

上集我們以尺規法畫出了線段AB的三等分點，首先把結果貼出來。

然而，在沒有尺規的輔助下，可否憑摺紙的方法，找到C、D點的位置呢？對此，我們先要簡單對摺紙法進行分析。

對於一張矩形紙張，我們可以比較直接地摺出：

(1) 任意線段的垂直平分線：將紙張對摺，摺痕便是一條邊的垂直平分線；同理，將紙張上一根任意線段的兩端點對齊摺疊，摺痕即為該線段的垂直平分線；

紅色表示摺痕，蜂網表示紙張背面，下同

 
(2) 角平分線：將一隻角的兩條邊對齊摺下，摺痕便是該角的角平分線；

 
(3) 任意線段的垂直線：將線段疊齊摺下，摺痕便是該線段的垂直線；

(4) 任意線段的平行線：用(3)所述方法先摺出該線段（如圖中綠線）的垂直線，然後用相同方法對該垂直線（黑線）作垂直線，所得摺痕（紅色虛線）即為原線段的平行線；

(5) 貼着紙張兩條鄰邊的正方形：如圖，先摺一條垂直於紙張一邊（長邊）的摺痕，然後把長邊的一段與該摺痕疊齊摺下，再以鉛筆（或摺痕）記錄；

灰色虛線表示鉛筆痕，灰色陰影部分即為正方形

(6) 兩點的連線；

(7) 兩根線段（即兩條摺痕）的交點（圖略）；

(8) ......

現在回到開頭的問題，假設有一張尺寸不詳的矩形紙張，其中AB為紙張的長邊，可否用上面歸納的8（或7）種摺法，摺出下圖所示的C、D點呢？

要是可行的話，只要最終在紙張上摺出CO線段，任務便告完成－－即我們不靠尺規、器具，徒手精確地將信紙摺成了三等份。

但經過初步分析，除了A、B（紙張的兩隻角）、H（線段AB的中點）三點，以及線段EH的延長線（其中E點位置未知）之外，其餘點、線的位置均無法直接“摺出來”－－最大問題是，在矩形（90度角）紙張上，不論怎樣平分、平行、垂直，結果都只會出現45度角和90度角，很難摺出正三角形特徵的60度角（或許可以？請高手不吝賜教）。

因此，接下來我們惟有以退為進，先分析三等分點C、D都有哪些幾何特徵，再看看能否僅以平行線、垂直線、45度角、90度角、垂直平分線、正方形這些元素，將C、D點定位出來。

＜第二集完，轉下集＞

如何把信紙摺三折【一】

＜本集內容：尺規法畫出線段的三等分點＞

＜需要答案的讀者可直接跳到第四集＞

＜另請見新方法＞

小伙伴們，很久沒有動腦筋了吧？筆者來給大家出道題：

給定一張尺寸不詳的矩形信紙，身邊沒有任何度量工具、更沒有器具輔助，如何把它精確地摺成三折（三個長寬完全相同的矩形）？

看似是非常簡單的小問題，不少人－－包括筆者－－恐怕卻毫無頭緒。當然，Google大神應該是知道答案的，但對於這種動動腦筋就能想到的幾何問題，筆者還是喜歡自己動手。

首先，得有圖，沒圖你說個J8－－對於幾何學問題更是如此。所以，本集的任務便是畫圖。

以下先用經典的尺規作圖法，試找一條任意線段AB的三等分點。

一句話結尾

以下轉一故事與讀者分享

【值得思考】某人买了一坛好酒，放在小院，第二天，酒少了1/5，便在酒桶上贴了不许偷酒四个字。第三天酒又少了2/5，又贴了偷酒者重罚。第四天，酒还是被偷，于是贴尿桶二字，看谁还喝。第五天他哭了。桶满了……故事还没完，第六天，他再次在酒桶上贴了不许偷酒四字。那一天很多人都哭了......

珠海馬拉松

自從數年前開始鍛練長跑以來，筆者便一直盼望要參加一場10km賽事，因為迷你馬太短“不夠喉”，而半馬、全馬又不是一時三刻可以練成。然而，眾所周知，澳門馬拉松規模很小，沒有舉辦10km的賽事。想要挑戰10km，只好到鄰近城市去。

此前，香港渣打馬拉松幾乎是筆者的唯一希望。可是，參加渣馬不僅要繳付高昂的報名費、交通費、住宿費，還要受舟車之苦－－要知道，坐船是件痛苦事。以上因素，大大減低了筆者對渣馬的興趣。

直至最近，跑友偶然提起珠海馬拉松，筆者才終於想起祖國的懷抱......

總括而言，今年珠馬（又稱“豬馬”、“蛛馬”）的時間相當適合，一來與澳馬相隔了半個月，二來又適逢回歸假期；路線也算是比較熟悉，基本上是從香洲出發，沿一段情侶路往返跑一圈，那是從拱北去廣州機場的必經之路；再拉攏幾個基友一起跑，那就完美了（住宿費也可以平攤了...）！當然，現在最重要的是加強訓練，確保有能力完成10km的比賽。

一、賽事資料

項目：珠海馬拉松分“半馬”（約21.1km）、10km及“迷你馬”（約4.2km）三項賽事，沒有全馬比賽。

時間：2014年12月20日，上午08:00開跑。

路線：三項賽事路線基本重合，但終點不同。其中10km賽事路線如下：

九洲城(起点)→景山路→海滨北路→凤凰南路→海燕路→情侣中路→情侣北路(折返点1)→情侣中路→海滨公园东门(终点)

路線圖(點擊放大)

關門時間：10km賽事，上午10:00賽道關門；即必須在2小時內完成比賽。


二、報名資料（參考2013年情況）

報名日期：比賽前三個月（約九月中）開始報名。

報名費：第一階段（頭兩個月內）報名，中國籍（包括港、澳、台同胞）跑半馬RMB60，10km RMB40，迷你馬RMB30。收費不比澳門馬拉松貴。

報名地點：澳門居民可以到羅理基博士大馬路南光大廈1樓中國旅行社報名，不建議網上報名，因為：

*从线下网点报名的选手请到原报名网点领取号码布及物品，组委会及网站报名的选手请到珠海市体育中心（註：位於香洲，從萬潤萬家坐33路巴士據說要1小時車程）领取参赛号码及物品。*

名額：半馬、10km各5,000人，迷你馬10,000人，額滿即止。


三、與澳門馬拉松比較

說好一國兩制，兩地比賽安排當然有許多不同之處，這裡主要講三點：

1. 珠海的開賽時間晚一些，早上八點才開跑，因此不必三更半夜起床比賽；
2. 珠海馬拉松，只有半馬運動員是用晶片計時的，其他項目都要自己填報成績；
3. 珠海只有半馬提供衣物寄存服務。這也可以理解，因為只有半馬的起點、終點設在同一地方。（但不方便啊......）

參考：珠海馬拉松官網