如何把信紙摺三折【一】

＜本集內容：尺規法畫出線段的三等分點＞

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＜另請見新方法＞

小伙伴們，很久沒有動腦筋了吧？筆者來給大家出道題：

給定一張尺寸不詳的矩形信紙，身邊沒有任何度量工具、更沒有器具輔助，如何把它精確地摺成三折（三個長寬完全相同的矩形）？

看似是非常簡單的小問題，不少人－－包括筆者－－恐怕卻毫無頭緒。當然，Google大神應該是知道答案的，但對於這種動動腦筋就能想到的幾何問題，筆者還是喜歡自己動手。

首先，得有圖，沒圖你說個J8－－對於幾何學問題更是如此。所以，本集的任務便是畫圖。

以下先用經典的尺規作圖法，試找一條任意線段AB的三等分點。

解題思路：

求三等分點，最先應該想到的是正三角形（等邊三角形）。對於邊長為a的正三角形，其高（即中線）長度為，“而正三角形的內心、外心、重心及垂心均共點，在其中線上，距頂點的位置。”換言之，正三角形的中心恰為中線的三等分點。因此，先將線段擴充成正三角形，再找出其中心，再利用相似三角形的性質，便可找到該線段的三等分點。


步驟：

一、作等邊三角形：
(1) 如圖，分別以線段兩頂點A、B為圓心，線段長度|AB|為半徑作圓，兩圓分別交於E點及F點。

 (2) 連結AE、BE，因為|AE| = |AB|（均為圓A的半徑），而|BE| = |BA|（均為圓B的半徑），所以三角形ABE為等邊三角形。

二、找三角形ABE的中心：
(1) 連結EF並使其交AB於H點，可知線段EH為三角形ABE的中線；
(2) 分別以A、E為弧心，以任意x > |AE|/2作弧線，使兩弧線交於點G；
(3) 連結BG並使其交AE於I點，可知線段BI為三角形ABE的中線；
(4) 中線EH、BI的交點O即為三角形ABE的中心

三、過O點作AE的平行線：
(1) 以O為弧心、|OI|為半徑作弧線，使弧線交線段OB於J點；

(2) 分別以I、J為弧心，以任意y > |OI|/2作弧線，使兩弧線交於點K；

(3) 連結OK，可知線段OK為線段IJ的垂直平分線，即OK垂直於BI；而由於BI為等邊三角形的高，故AE垂直於BI；因此OK平行於AE。

四、找AB的三等分點：
(1)延長線段OK，使其交線段AB於C點。因

cos(IBA) = |IB|/|AB| = |OB|/|CB|;
==> |CB|/|AB| = |OB|/|IB|；

而由於O是正三角形ABE的中心，故

|OB|/|IB|=2/3
==> |CB|/|AB|=2/3

即C點是線段AB的三等分點；

(2) 以C為弧心，|AC|為半徑作弧線，使弧線交線段BC於D點。可知D為線段AB的另一個三等分點。

至此我們已經畫出了一條任意線段的三等分點，可是這並非問題的最終答案，因為它不僅違反了“沒有任何器具輔助”的前提，而且實用性也不大－－畢竟在一般辦公室裡，圓規比刻度尺罕見多了。接下來，我們將利用上面畫好的圖，研究如何徒手將一張信紙摺成三折。

＜第一集完，轉下集＞