如何把信紙摺三折【三】

＜本集內容：分析三等分點的幾何性質＞

＜需要答案的讀者可直接跳到第四集＞

＜另請見新方法＞

在網上查資料時，偶然發現了"摺紙數學"一詞，筆者還是第一次聽說。這個摺紙數學嘛，據說可以做到一些連尺規作圖都做不到的事（如角的三平分問題）。而筆者居然無師自通地研究起摺紙數學問題，一股牛逼感油然而生。咳咳，該吃藥了......

既然摺紙法能做到尺規作圖做不到的事，說明摺紙與尺規作圖是兩個不同的體系。因此，第一集的尺規作圖，只需知道結果即可，步驟可以完全忘掉......

現在先做一道證明題，複習一下初中幾何！

如圖，線段AB的長度 |AB| = 2a；O為線段AB的中點，即 |AO| = |BO| = a；Q為線段AO的中點，即 |AQ| = |OQ| = a/2；N為線段AB的三等分點，即 |AN| = 2a/3；圖形AOCD為正方形；連結CQ、DO，使之交於M點；連結MN；求證MN┴AO。

 

證明：

以上證明僅為滿足筆者裝逼的欲望罷了。要是反過來，先過M點作MN┴AO於N，再求證N是AB的三等分點，那麼證明過程便會簡單得多（亦更有指導意義，日後再說）。具體過程如下：

1) 設|MN|=y、|NO|=x，即|QN|=|QO|-|NO|= a/2 - x;
2) tan(MON)=|MN|/|NO|=|DA|/|AO|=a/a=1;
　　故|MN|=|NO|，即y=x
3) tan(MQN)=|MN|/|QN|=|CO|/|QO|=a/(a/2)=2;
　　故x/(a/2-x)=2，即x=a-2x，即x=2a/3，得證。

出以上的證明題，並非像數學老師那樣存心要刁難讀者。細心的讀者朋友已經注意到，上述證明題的題設中僅包含正方形、垂直平分線、二等分點、垂直線、兩個已知點的連線等元素。根據上集的分析可知，這些元素都可直接摺出。換言之，圖上的一根根線段，實質就是我們在尋找的“摺痕”。答案已經呼之欲出了。

好吧，我承證答案也是偶然發現的......

＜第三集完，轉下集＞