芝諾悖論的疑問

好久沒幹過跟數學有關的事了。今天無聊，在g+上與某人討論起一些小學數學問題，感覺真是良好啊！兩個理學學士討論半天，連一個簡單問題都解決不了。現將對話內容整理一下，方便日後翻閱。也請各位路過讀者發表高見。

 命題一：0.999... = 1

這個命題怎麼看怎麼不舒服，0.999...應該無限接近1，怎麼會等於1呢，但在網上看了個十分簡單的證法，又無法辯駁：

∵ 1/3 = 0.333...

而 2/3 = 0.666...

∴ 1/3 + 2/3 = 0.333... + 0.666... = 0.999...

∴ 1 = 0.999...

後來某人鄭重地告訴我：“不用太糾結...反正真理就是1=0.999...”，仿佛是在引用命運之神般的客觀權威。我只好知難而退了，不舒服就不舒服吧，“反正真理就是1=0.999...”，命題一證畢。（好戲尚在後頭！）

 悖論一：芝諾辯龜烏龜悖論

先簡介一下芝諾辯龜烏龜悖論都說甚麼：

阿喀琉斯（Achilles）是史詩《伊利亞特》裡的希臘大英雄，以“捷足”而著稱。有一天他碰到一隻烏龜，烏龜嘲笑他說：“別人都說你厲害，但我看你如果跟我賽跑，還追不上我。”
阿喀琉斯大笑說：“這怎麼可能。我就算跑得再慢，速度也有你的10倍，哪會追不上你？”
烏龜說：“好，那我們假設一下。你離我100米，你的速度是我的10倍。現在你來追我了，但當你跑到我現在這個位置，也就是跑了100米的時候，我也已經又向前跑了10米。當你再追到這個位置的時候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米……總之，你只能無限地接近我，但你永遠也不能追上我。”
阿喀琉斯怎麼聽怎麼有道理，一時丈二和尚摸不着頭腦。

 －－曹天元《上帝擲骰子嗎》

 還有比這個更無稽的悖論嗎？要是成立的話，大家還考毛個車牌駕照啊，反正永遠不會追尾。難怪某人激動地說：“照他的理論，我們以前學的追車問題不就是一個大笑話？！”其實，只要仔細想想，悖論還是很好破解的。關鍵在於，烏龜忽略了時間這個量。對運算式過敏的讀者可看以下破法：

 考慮以下情況：阿喀琉斯以10m/s前進，烏龜領先100m，並以1m/s前進，則：

－   經過10s後，阿喀琉斯前進了100m，烏龜前進了10m，兩者相距10m；

－   又經過1s（即總共經過11s）後，兩者相距1m；

－   又經過0.1s（即總共經過11.1s）後，兩者相距0.1m；

－   又經過0.01s（即總共經過11.11s）後，兩者相距0.01m；

－   ……

換言之，經過11.11...s後，兩者的距離將無限接近。
而，一旦超過此時間點，比如說，經過11.2s後，阿喀琉斯便將超越並抛離烏龜！

喜歡嚴謹一點的讀者可看以下解法：

記阿喀琉斯為a，烏龜為b，設s=100m，Va=10m/s，Vb=1m/s, 則根據伽利略變換，t=s/(Va-Vb)=100/(10-1)=11.111...秒, 也就是說過了11.111...秒後a追上b。

 可見，烏龜所說的“永遠”並不永恒，而只是11.111...秒而已。悖論破畢。

<update>重新整理了一下，想說說烏龜貌似有理的原因。烏龜把追趕過程分成x段，每段耗時為t(x)－－它沒有把這句話說出來，其中t(x)=10^(2-x)，x=1,2,3,...,+∞，則整個過程耗時為t=Σt(x)。烏龜企圖混淆視聽，讓阿喀琉斯認為，無窮個數加起來，其結果為無窮大，即Σt(x)=+∞，因此阿喀琉斯永遠追不上它。現在我們知道，Σt(x)不僅不是無窮大，還等於11.111...。（實際上，許多函數都可以展開成收斂的無窮級數。）</update>

但是，依我所見，11.111...這個數字很怪，跟0.999...一樣怪。於是我提出一個問題：既然0.999...直接等於1（根據命題一），那是不是說，即使忽略時間因素，烏龜的理論是否本身也有問題呢？經過11.111...秒之後，阿喀琉斯是否剛好追上－－而不是無限接近於－－烏龜呢？這個問題暫時懸而未決。


恕筆者語文能力和數學能力低下，無法把想法表達得更清晰。