“賭仔磨爛蓆”的數學原理

註：本文僅供筆者自娛自樂之用，內容相信沒有人會看的，有興趣的讀者直接看結論即可，多謝合作！

相信大家都聽說過“賭仔磨爛蓆”這句俗語，大概就是“長賭必輸”的意思。人們說這句說話時，更多是從心理角度出發的；可是從數學上分析，也的確有其道理。賭博遊戲縱然五花八門，卻有一個重要的共通點：贏錢總比輸錢難。換言之，“產出”的期望值總比“投入”低。

舉個人盡皆知的例子－－“賭大小”：三顆骰子點數相加，10點或以下算“開大”、11點或以上算“開小”，押對了則1賠1，押錯則全賠。“開大”、“開小”的概率是一樣的，但概率略小於50%，因為還有“圍骰通殺”的情況。“圍骰”的概率看上去很小，然而，計算結果發現，正是由於這個微不足道的“不公平”不斷累積疊加，導致了“賭仔磨爛蓆”的情況。

以下就以“賭大小”為例，分析一下“賭仔磨爛蓆”是如何發生的。以下討論默認賭場、莊家沒有“出千”，擲骰子時每一面的概率相同，均為1/6。

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首先論證一下“開大”跟“開小”的概率為甚麼是一樣的。當然也可以用正常的“排列組合”來分析，但筆者想了個“旁門左道”，似乎更直觀一些。

記集合{1,2,3,4,5,6}為X，可知對任意的x屬於X，有且僅有另一個x'屬於X，使得x+x'=7（聽上去玄裡玄乎的，但如果改寫成 y=7-x 或 f(x)=7-x 就十分清晰了。），而且x不等於x'。在這個案例中，筆者姑且把x和x'稱為一對“共軛數”。

顯然，以上就是對於一顆骰子的情況，即對於任意的擲骰結果x，都有且僅有一個共軛x'，使得x+x'=7。現在假設有三顆骰子A、B、C，其擲骰結果分別為a、b、c，而其共軛數分別記為a'、b'、c'。

大家知道，根據賭博規則，當三粒骰子之和小於或等於10時算“開小”，大於或等於11算“開大”（圍骰除外，稍後便會討論）。假設a+b+c<=10，則其共軛數：

a'+b'+c'=(7-a)+(7-b)+(7-c)             =21-(a+b+c)
             >=21-10=11

換言之，對任何一個“開小”的擲骰結果，都有一個共軛的“開大”結果與之一一對應；反之亦然。因此，有多少個“開小”的組合，就有多少個“開大”的組合，故兩者概率相等。

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接着討論“圍骰通殺”的情況。一顆骰子有六面，有6個可能的擲骰結果，三顆骰子就可能有6x6x6=216（嚴格而言是C(6,1) x C(6,1) x C(6,1)）種結果，根據上面的討論，“開大”、“開小”的組合一樣多，均為216/2=108種。

然而，當三顆骰子結果相同時，即擲出[1,1,1]、[2,2,2]、......、[6,6,6]六種（嚴格而言是C(6,1) x C(1,1) x C(1,1)）結果時被稱為“圍骰”，此時不管“押小”還是“押大”都要輸錢，無論加出來的結果是小於10還是大於11。因此，“開大”的組合中要扣除[4,4,4]、[5,5,5]、[6,6,6]三種，剩108-3=105種，實際“開大”的概率則為105/216=48.6111%，同理，實際“開小”的概率也是48.6111%。（顯然，[1,1,1]與[6,6,6]、[2,2,2]與[5,5,5]、[3,3,3]與[4,4,4]也互成共軛對）

換言之，當閣下在賭場下注押大（或押小）時，有48.6111%機率贏錢（以下記為“p”），有100%-48.6111%=51.3888%輸錢（以下記為“1-p”）。

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假設“賭仔”有本金$10,000.00（以下記為A），那麼他一注“曬冷”、或者平均分成100注慢慢“磨”，勝算分別幾何？接下來便將分情況討論。

【1. 一注“曬冷”】

一注“曬冷”的情況，其實上面已經討論過了。一個回合，只有“輸”或“贏”兩種可能，其中贏錢的概率就是p，即48.6111%；輸錢的概率是1-p，即51.3888%。

投入$10,000，有48.6111%機會“產出”$20,000，有51.3888%“產出”$0（全賠），因此“產出”的期望值為：

Exp = 48.6111% x $20000 + 51.3888% x $0 = $9722.22

【2. 分成兩注】

分成兩回合，情況複雜一些。每回合各有“輸”、“贏”兩種結果，因此結果共有2x2=4種（嚴格而言是C(2,1) x C(2,1)種），分別是“兩戰全勝”、“先勝後負”、“先負後勝”、“兩戰皆北”。其中只有前者能贏錢、只有後者會輸錢、中間兩者則能“全身而退”。因此，勝、和、負的概率分別為：

勝（W）：P(W) = p x p = 48.6111% x 48.6111% = 23.6304%
和（D）：P(D) = p x (1-p) + (1-p) x p = 24.9807% + 24.9807% = 49.9614%
負（L）：P(L) = (1-p) x (1-p) = 51.3888% x 51.3888% = 26.4082%

由於分成了兩注，每一回合投入A/2=$5,000，押對則產出2x(A/2)=$10,000，押錯則產出$0。因此，“兩戰全勝”總產出為$10,000+$10,000=$20,000，“一勝一負”產出為$10,000+$0=$10,000 ，“兩戰皆北”的產出則為$0。因此期望值為：

Exp = P(W) x $20000 + P(D) x $10000 + P(L) x $0 = $9722.22

由此可得出兩個比較重要的發現：

1. 偶數的情況與奇數不同。分成偶數注時，結果可以“打和”，而奇數必定分出勝負；
2. 分成兩注時，“贏錢”的概率雖與“一注曬冷”的情況不同，但期望值仍相同。

【3. 分成三注】

分成三回合，情況就更複雜了。每回合有“輸”“贏”兩種結果，故一共有2x2x2=8種情況（C(2,1) x C(2,1) x C(2,1)），其中：

• 三連勝的情況只有C(3,3)=1種，概率P(3) = C(3,3) x p x p x p = C(3,3) x p^3
• 兩勝一負有C(3,2)=3種（即[勝勝負]、[勝負勝]、[負勝勝]），概率P(2) = C(3,2) x p x p x (1-p) = C(3,2) x p^2 x (1-p)
• 一勝兩負則有C(3,1)=3種，概率P(1) = C(3,1) x p x (1-p) x (1-p) = C(3,1) x p x (1-p)^2
• 三戰盡墨的有C(3,0)=1種，概率P(0) = C(3,0) x (1-p) x (1-p) x (1-p) = C(3,0) x (1-p)^3

由於“三連勝”或“兩勝一負”都屬於“贏錢”，而“一勝兩負”及“三戰盡墨”均屬“輸錢”，沒有打和的情況。代入p=48.6111%，得“贏錢”、“輸錢”的概率分別為：

勝（W）：P(W) = P(3) + P(2) = 11.4870% + 36.4302% = 47.9172%
負（L） ：P(L) = P(1) + P(0) = 38.5119% + 13.5709% = 52.0828%

期望值分析：對每一回合，投入均為A/3=$3,333.33（先不管實際操作是否可行），押對則產出2 x (A/3) = $6,666.67，押錯則產出$0。因此：

押對三次的產出E(3) = 2 x (A/3) x 3；
押對兩次的產出E(2) = 2 x (A/3) x 2 + 0 x 1；
押對一次的產出E(1) = 2 x (A/3) x 1 + 0 x 2；
全部押錯的產出E(0) = 2 x (A/3) x 0 + 0 x 3。

因此，總產出的期望值為：

Exp = P(3) x E(3) + P(2) x E(2) + P(1) x E(1) + P(0) x E(0)

代入相關數據，得Exp=$9,722.22。

這次的結論就比較豐富了：

1. 分成奇數回合後，當“勝”的回合多於總回合數的一半時就能贏錢。例如本例中，總回合數為3，一半即3/2=1.5，因此“三連勝”（3>1.5）或“兩勝一負”（2>1.5）都屬於“贏錢”，而“一勝兩負”（1<1.5）及“三戰盡墨”（0<1.5）均屬“輸錢”；
2. 分成三注後，贏錢的概率為47.9172%，略低於“一注曬冷”的48.6111%；
3. 期望值仍跟之前一樣，為$9,722.22。

五注、七注的情況與之類似，結果如下表所示。其中本金均為$10,000.00，n表示平均分成多少回合，i表示“賭仔”勝出多少回合，Incoming則是勝出i回合時的產出。當i>(n/2)時屬“賭仔”贏錢（W）的情況，i<(n/2)則為輸錢（L）的情況，沒有打和（D）的情況。把所有i>n/2的概率（Probability）加起來，就是“賭仔”贏錢的概率（已加粗、斜體及下劃線）；輸錢亦然。Expectation(i) = Incoming(i) x Probability(i)，把所有Expectation(i)加起來，便得到總的期望值Total Expectation。

經過本例的分析，“一般情況”也呼之欲出了。

【4. n為奇數的一般情況】

直接寫結果吧！假設“賭仔”將本金A平均分成n份（n為奇數），分n回合下注，則他勝出其中 i 回合的概率為：

當i>(n/2)，即i>=[(n+1)/2]時，“賭仔”贏錢，因此贏錢的概率為：

 當i<(n/2)，即i<=[(n-1)/2]時，“賭仔”輸錢，即輸錢概率為：

而“賭仔”將本金A分成n份，每回合投入A/n，若獲勝則產出2 x A/n，失敗則產出0。因此，假設“賭仔”獲勝 i 回合，則他收獲的“產出”為：

E(i) = 2 x A/n x i + 0 x (n-i)

故總期望值為：

【5. n為偶數的一般情況】

n為偶數時，形式上也跟奇數差不多，當i>(n/2)時，“賭仔”還是贏錢的， 當i<(n/2)時，“賭仔”還是輸錢的。不同之處在於，因為n是偶數，所有n/2是整數，因此i可以等於n/2，此時結果為“打和”。

從n回合中勝出i回合的概率仍為：

當i>(n/2)，即i>=[(n/2)+1]時［此處與奇數情況稍有差異］，“賭仔”贏錢，因此贏錢的概率為：

當i<(n/2)，即i<=[(n/2)-1]時，“賭仔”輸錢，即輸錢概率為：

當i=n/2時則打和，其概率為：

總期望值為：

【6. 當n很大很大】

以上第3點的最後部分，筆者就曾用Excel表格計算n=3、5、7的情況。然而，當n很大很大時，用表格的方格無疑比較麻煩，例如當n=1000時，就要列一個1000列的表格。為簡便操作，筆者寫了個巨集如下：

直接輸入變量n，再運行巨集（Alt + F8），便可迅速計得“賭仔”的勝算。以下列舉一些數據：

　奇數情況：

• 一注“曬冷”，勝算為48.6111%；
• 分成9注，勝算為46.5855%；
• 分成99注，勝算為39.0837%，不足四成；
• 分成999注，勝算為18.9874%，不足兩成；
• 分成9999注，電腦計不出來了......

　偶數情況：

• 分成2注，有23.6304%機會贏錢，另有49.9614%機會全身而退；
• 分成10注，勝算為34.3282%，另有24.5146%機會全身而退。看似勝算高了，其實輸錢的概率也大幅從26.4082%升至41.1572%；
• 分成100注，勝算為35.2549%，而打和機會為7.6576%，輸錢機會為57.0875%；
• 分成1000注，勝率僅餘18.1300%，另有1.7148%機會打和，失敗率逾80%......

該檔案已上傳至此，各位可以自行用其他數據計算，但記得要啟用巨集哦。附送筆者繪畫的兩幅曲線圖，橫軸為n，竪軸為概率。藍線、紅線、綠線分別代表“賭仔”贏、輸、打和的概率。

奇數情況

偶數情況

通過以上數據及圖表，相信各位已經感受到“賭仔磨爛蓆”的道理了。

【7. 假如沒有圍骰通殺】

上面已經討論過，不考慮“圍骰通殺”的時候，開大、開小的概率相同，均為50%，即p=(1-p)=50%。若把檔案中的p和(1-p)都設為50%再執行巨集，那麼可以發現，即使“賭仔”與莊家激戰999回合，依然難分高下。

所以，正如文章開頭所說的，正是由於微不足道的“不公平”不斷累積疊加，才導致了“賭仔磨爛蓆”的情況。

【8. 思考題】

以上已經列出了一般情況的計算公式了，可是公式形式比較複雜，特別是n比較大的時候，必須用電腦才能計算。因此，能否通過泰勒多項式等方法來簡化公式呢？只怪筆者當年微積分沒學好，曲線圖上也無法擬合出一條很準確的曲線，這個問題只好留待各位高人賜教。

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“賭仔磨爛蓆”，據說泡妞也是這樣。