用尺規法作黃金分割

【題目】 已知一根線段AB，用尺規法求它的黃金分割點。

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【分析】 大家還記得“黃金分割”是甚麼吧？

之前筆者只給了個近似值0.618，那它的精確值是多少呢？是怎樣得來的呢？以下筆者推導一下：

(a+b) / a = a / b
ab + b^2 = a^2
a^2 - ab - b^2 =0
a = [b + sqrt(b^2 + 4 * b^2)] / 2 或 [b - sqrt(b^2 + 4 * b^2)] / 2
即a = b * [1 + sqrt(5)] / 2 或 b * [1 - sqrt(5)] / 2（後者小於0，不合理）

以較符合習慣的方式表述，即： 

面對如此複雜的數值，筆者顯然是束手無策的。以下解法均源自網絡，非筆者原創，謹供讀者參考，也供筆者學習。

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註：以下圖中，黑色為題設條件，綠色為直尺作圖痕跡，紅色為圓規作圓痕跡，橙色為標注，藍色為答案。

【解法一】 （維基百科上提供的解法）

1. 分別以A、B為弧心，以任意 x > |AB| / 2 作弧，連結兩弧交點，得線段AB的垂直平分線l1。l1與AB交於M點。

2. 過B點作AB的垂線l2（用三角板平移l1）；以B為弧心、|MB|為半徑作弧，使其交l2於C點；連結AC；

3. 以C為弧心、|BC|為半徑作弧，使其交線段AC於D點；

4. 以A為弧心、|AD|為半徑作弧，使其交線段AB於E點；E點即為線段AB的黃金分割點。

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【解法二】 （此乃尺規法作“五角星”其中的步驟）

1. 分別以A、B為弧心，以任意 x > |AB| / 2 作弧，連結兩弧交點，得線段AB的垂直平分線l1。l1與AB交於M點。（同“解法一”的第一步）

2. 過A點作AB的垂線l2（用三角板平移l1）；以A為弧心、|AB|為半徑作弧，使其交l2於C點；

3. 延長線段BA；以A為弧心、|AM|為半徑作弧，使其交BA的延長線於D點；

4. 連結CD；以D為弧心、|CD|為半徑作弧，使其交AB於E點；E點即為線段AB的黃金分割點。

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【論證】 以“解法一”為例：

• 在直角三角形ABC中，設 |AB| = x，則 |BC| = |BM| = |AB| / 2 = x/2；
• 根據勾股定理， |AC| = sqrt( |AB|^2 + |BC|^2) = sqrt[x^2 + (x/2)^2] = x * sqrt(5) / 2
• 而 |CD| = |BC| = x/2
• 因此 |AE| = |AD| = |AC| - |CD| = [x * sqrt(5) / 2] - x/2 = x * [sqrt(5) - 1] / 2
• 即 |AE| / |AB| = [sqrt(5) - 1] / 2

由此證明E點為線段AB的“黃金分割點”。

“解法二”也可用類似的方法證明，不贅述。

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【後記】

如此複雜、涉及無理數的尺規作圖，當然不是筆者自己想出來的。

筆者一度企圖挑戰“尺規法作五角星”的問題，奈何對五角星的理解不夠透徹，尺規作圖技巧也不夠純熟，無從入手，只好放棄。

後來在網上尋求答案，終於發現了“五角星”的一個重要性質、一個幾何老師不曾告訴大家的性質－－黃金分割。如下圖所示：

1175.57 / 1902.11 = 0.618034

看了網上一些解法，“黃金分割”也確實是“尺規法畫五角星”問題的關鍵步驟。現在，有了這個工具，“五角星問題”可以重新着手了。

要說筆者從以上“黃金分割”解題中學習到甚麼，那當然是學會了利用“勾股定理”來拼湊出正整數的平方根。例如“黃金分割”裡有個“根號5”（sqrt(5)），那是用一個直角邊長分別為2和1的直角三角形湊出來的：

斜邊長 = sqrt[(2)^2 + (1)^2] = sqrt(5)

同理可以直接拼湊出下表中各正整數的平方根：

不在表裡的數字也不打緊，多一個步驟，同樣可以用“勾股定理”法拼出來。例如要湊出sqrt(3)，方法如下：

推而廣之，任何正整數的平方根，都可以用此方法求得。

【課後練習】

給定一條長度為1cm的線段，試用尺規法畫出長度分別為sqrt(5) cm、sqrt(6) cm、sqrt(7) cm的線段。